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——「精诚所至，金石为开 」
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椭圆典型例题
一 、已知椭圆焦点的位置 ，求椭圆的标准方程 。
例1 ：已知椭圆的焦点是F1(0 ，－1)、F2(0,1) ，P是椭圆上一点 ，并且PF1＋PF2＝2F1F2 ，求椭圆的标准方程 。
解 ：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4 ，得2a＝4.又c＝1 ，所以b2＝3.
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0) ，F2(1,0) ，且2a＝10 ，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
二 、未知椭圆焦点的位置 ，求椭圆的标准方程。
例 ：1.椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍 ，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置 ，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，，，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当为短轴端点时， ，，
椭圆的标准方程为： ；
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出 ，求椭圆的标准方程 。
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：因为c2＝9－4＝5 ，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋
＝1 ，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
四 、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程 。
例 ：已知中心在原点 ，焦点在轴上的椭圆与直线交于 、两点 ，为
中点 ，的斜率为0.25 ，椭圆的短轴长为2 ，求椭圆的方程．
解 ：由题意，设椭圆方程为 ，
由 ，得，
∴ ， ，
，∴ ，∴为所求．
五、求椭圆的离心率问题 。
例已知椭圆的离心率 ，求的值．
解 ：当椭圆的焦点在轴上时 ， ， ，得．由 ，得．
当椭圆的焦点在轴上时 ， ，，得．
由，得，即．
∴满足条件的或．
六、由椭圆内的三角形周长 、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0) ，△ABC的周长为18 ，求顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点A ，B的距离之和为定值10 ，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆 ，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8 ，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A 、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)
2．已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5) ，它的两焦点分别是F1 ，F2，且F1F2＝8 ，弦AB过点F1 ，求△ABF2的周长．
因为F1F2＝8 ，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41 ，即a＝，所以△ABF2的周长为4a＝4.
3．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF2＝2:1 ，求△PF1F2的面积．
解析 ：由椭圆方程，得a＝3 ，b＝2 ，c＝ ，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4 ，PF2＝2 ，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.
七 、直线与椭圆的位置问题
例已知椭圆 ，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率 ，故设斜率为 ，利用条件求．
解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得
．
由韦达定理得．
∵是弦中点 ，∴．故得．
所以所求直线方程为．
解法二：设过的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得
①－②得．⑤
将③、④代入⑤得 ，即直线的斜率为．
所求直线方程为．
双曲线典型例题
一 、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型 。
例1 讨论表示何种圆锥曲线 ，它们有何共同特征．
分析 ：由于，，则的取值范围为 ， ，，分别进行讨论．
解 ：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时 ，， ，这些椭圆有共同的焦点（－4 ，0），（4 ，0）．
（2）当时， ，，所给方程表示双曲线 ，此时， ， ，，这些双曲线也有共同的焦点（－4 ，0），）（4 ，0）．
（3） ， ，时 ，所给方程没有轨迹．
说明 ：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线 ，称为同焦点圆锥曲线系 ，不妨取一些值，画出其图形 ，体会一下几何图形所带给人们的美感．
二 、根据已知条件 ，求双曲线的标准方程 。
例2 根据下列条件 ，求双曲线的标准方程．
（1）过点 ，且焦点在坐标轴上．
（2） ，经过点（－5，2），焦点在轴上．
（3）与双曲线有相同焦点 ，且经过点
解：（1）设双曲线方程为
∵、两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线方程为
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论 ，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在轴上 ，，
∴设所求双曲线方程为 ：（其中）
∵双曲线经过点（－5 ，2），∴
∴或（舍去）
∴所求双曲线方程是
说明 ：以上简单易行的方法给我们以明快 、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为 ：
∵双曲线过点 ，∴
∴或（舍）
∴所求双曲线方程为
说明 ：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后 ，便有了以上巧妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力 ，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．
三 、求与双曲线有关的角度问题 。
例3已知双曲线的右焦点分别为 、 ，点在双曲线上的左支上且 ，求的大小．
分析 ：一般地，求一个角的大小 ，通常要解这个角所在的三角形．
解 ：∵点在双曲线的左支上
∴
∴
∴
∵
∴
说明 ：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键 ，应引起我们的重视 ，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题 。
例4已知 、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．
分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．
解：∵为双曲线上的一个点且 、为焦点．
∴,
∵
∴在中 ，
∵
∴
∴
∴
说明 ：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五 、根据双曲线的定义求其标准方程。
例5 已知两点、 ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．
分析 ：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹．
解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵，
∴
∴所求方程为动点的轨迹方程 ，且轨迹是双曲线．
例:是双曲线上一点 ， 、是双曲线的两个焦点 ，且，求的值．
分析 ：利用双曲线的定义求解．
解：在双曲线中， ， ，故．
由是双曲线上一点 ，得．
∴或．
又 ，得．
说明 ：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或．
说明：(1)若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算．
（2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题 ，一般可采用定义去解．
六 、求与圆有关的双曲线方程。
例6 求下列动圆圆心的轨迹方程：
（1）与⊙内切，且过点
（2）与⊙和⊙都外切．
（3）与⊙外切 ，且与⊙内切．
分析 ：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离．如果相切的⊙ 、⊙的半径为 、且 ，则当它们外切时， ；当它们内切时 ，．解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解 ：设动圆的半径为
（1）∵⊙与⊙内切 ，点在⊙外
∴，，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支 ，且有 ：
， ，
∴双曲线方程为
（2）∵⊙与⊙ 、⊙都外切
∴ ， ，
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支 ，且有 ：
，，
∴所求的双曲线的方程为 ：
（3）∵⊙与⊙外切，且与⊙内切
∴ ， ，
∴点的轨迹是以 、为焦点的双曲线的右支 ，且有 ：
，，
∴所求双曲线方程为 ：
说明 ：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小 ，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以上题目的分析 ，我们体会到了 ，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．
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抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程 。
例1指出抛物线的焦点坐标 、准线方程．
（1）（2）
分析 ：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种 ，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论 ，确定是哪一种后 ，求p及焦点坐标与准线方程．
解：（1） ，∴焦点坐标是（0 ，1） ，准线方程是：
（2）原抛物线方程为： ，
①当时， ，抛物线开口向右 ，
∴焦点坐标是 ，准线方程是：．
②当时 ， ，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是 ：．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为 ，准线方程是 ：．
二、求直线与抛物线相结合的问题
例2若直线与抛物线交于A 、B两点 ，且AB中点的横坐标为2 ，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
解法一 ：设 、 ，则由：可得 ：．
∵直线与抛物线相交，且 ，则．
∵AB中点横坐标为：，
解得：或（舍去）．
故所求直线方程为：．
解法二 ：设、 ，则有．
两式作差解 ：，即．
，
故或（舍去）．
则所求直线方程为：．
三 、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边 ，以x轴上的点P为顶点作三角形 ，当三角形的面积为9时 ，求P点坐标．
分析 ：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高 ，再用点到直线距离求P点坐标．
解 ：（1）由得：
设直线与抛物线交于与两点．则有 ：
，即
（2） ，底边长为 ，∴三角形高
∵点P在x轴上 ，∴设P点坐标是
则点P到直线的距离就等于h，即
或 ，即所求P点坐标是（－1 ，0）或（5，0）．
四 、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段的端点 、在抛物线上移动 ，求的中点到轴的距离的最小值 ，并求出此时中点的坐标．
分析 ：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题 ，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：如图 ，设是的焦点， 、两点到准线的垂线分别是 、 ，又到准线的垂线为 ，、和是垂足，则
．
设点的横坐标为，纵坐标为， ，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故
，
，．
所以，此时到轴的距离的最小值为．
说明 ：本题从分析图形性质出发 ，把三角形的性质应用到解析几何中 ，解法较简．
例 已知点，为抛物线的焦点 ，点在该抛物线上移动 ，当取最小值时，点的坐标为__________．
分析 ：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义 ，结合图形则问题不难解决．
解 ：如图，
由定义知，故．
取等号时， 、 、三点共线 ，∴点纵坐标为2 ，代入方程，求出其横坐标为2 ，
所以点坐标为．
。
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